1001 Напишите уравнение окружности, А (3; 0) и В (-1; 2), если центр её лежит на прямой у = x + 2.

Для решения данной задачи необходимо:

1. Найти координаты центра окружности, зная, что он лежит на прямой $$y = x + 2$$.
2. Найти радиус окружности, зная координаты центра и одной из точек окружности.
3. Подставить координаты центра и радиус в общее уравнение окружности.

Пусть центр окружности имеет координаты $$(a; b)$$. Тогда уравнение окружности имеет вид:

$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 $$

Так как центр окружности лежит на прямой $$y = x + 2$$, то $$b = a + 2$$.

Точки $$A(3; 0)$$ и $$B(-1; 2)$$ лежат на окружности, следовательно:

$$ (3 - a)^2 + (0 - b)^2 = R^2 $$ $$ (-1 - a)^2 + (2 - b)^2 = R^2 $$

Приравняем эти два уравнения:

$$ (3 - a)^2 + b^2 = (-1 - a)^2 + (2 - b)^2 $$

Раскроем скобки:

$$ 9 - 6a + a^2 + b^2 = 1 + 2a + a^2 + 4 - 4b + b^2 $$ $$ 9 - 6a = 5 + 2a - 4b $$

Упростим выражение:

$$ 4 - 8a + 4b = 0 $$ $$ 4b = 8a - 4 $$ $$ b = 2a - 1 $$

Известно, что $$b = a + 2$$, подставим это выражение в уравнение выше:

$$ a + 2 = 2a - 1 $$ $$ a = 3 $$

Найдем координату $$b$$:

$$ b = a + 2 = 3 + 2 = 5 $$

Координаты центра окружности: $$(3; 5)$$.

Найдем радиус окружности, зная координаты центра и точки $$A(3; 0)$$:

$$ R^2 = (3 - 3)^2 + (0 - 5)^2 = 0 + 25 = 25 $$ $$ R = 5 $$

Уравнение окружности:

$$ (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25 $$

Раскроем скобки:

$$ x^2 - 6x + 9 + y^2 - 10y + 25 = 25 $$ $$ x^2 + y^2 - 6x - 10y + 9 = 0 $$

Ответ: $$x^2 + y^2 - 6x - 10y + 9 = 0$$