1003 Вершины треугольника АВС имеют координаты A (-7; 5), B (3; −1), C (5; 3). Cоставьте уравнения: а) серединных перпен- дикуляров к сторонам треугольника; б) прямых АВ, ВС И СА; в) прямых, на которых лежат средние линии треугольника.

а) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника.

Найдем координаты середин сторон треугольника:

Середина стороны AB: $$M_{AB} = (\frac{-7+3}{2}, \frac{5-1}{2}) = (-2, 2)$$.

Середина стороны BC: $$M_{BC} = (\frac{3+5}{2}, \frac{-1+3}{2}) = (4, 1)$$.

Середина стороны CA: $$M_{CA} = (\frac{5-7}{2}, \frac{3+5}{2}) = (-1, 4)$$.

Найдем угловые коэффициенты сторон треугольника:

Угловой коэффициент стороны AB: $$k_{AB} = \frac{-1-5}{3-(-7)} = \frac{-6}{10} = -0.6$$.

Угловой коэффициент стороны BC: $$k_{BC} = \frac{3-(-1)}{5-3} = \frac{4}{2} = 2$$.

Угловой коэффициент стороны CA: $$k_{CA} = \frac{5-3}{-7-5} = \frac{2}{-12} = -\frac{1}{6}$$.

Угловые коэффициенты серединных перпендикуляров:

$$k_{1} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-0.6} = \frac{1}{0.6} = \frac{5}{3}$$.

$$k_{2} = -\frac{1}{k_{BC}} = -\frac{1}{2} = -0.5$$.

$$k_{3} = -\frac{1}{k_{CA}} = -\frac{1}{-\frac{1}{6}} = 6$$.

Уравнения серединных перпендикуляров:

К стороне AB: $$y - 2 = \frac{5}{3}(x + 2)$$, $$y = \frac{5}{3}x + \frac{10}{3} + 2$$, $$y = \frac{5}{3}x + \frac{16}{3}$$.

К стороне BC: $$y - 1 = -0.5(x - 4)$$, $$y = -0.5x + 2 + 1$$, $$y = -0.5x + 3$$.

К стороне CA: $$y - 4 = 6(x + 1)$$, $$y = 6x + 6 + 4$$, $$y = 6x + 10$$.

б) Прямые AB, BC и CA.

Уравнение прямой AB: $$y - 5 = -0.6(x + 7)$$, $$y = -0.6x - 4.2 + 5$$, $$y = -0.6x + 0.8$$.

Уравнение прямой BC: $$y + 1 = 2(x - 3)$$, $$y = 2x - 6 - 1$$, $$y = 2x - 7$$.

Уравнение прямой CA: $$y - 5 = -\frac{1}{6}(x + 7)$$, $$y = -\frac{1}{6}x - \frac{7}{6} + 5$$, $$y = -\frac{1}{6}x + \frac{23}{6}$$.

в) Прямые, на которых лежат средние линии треугольника.

Средняя линия, параллельная AC: $$y - 1 = -\frac{1}{6}(x - 4)$$, $$y = -\frac{1}{6}x + \frac{2}{3} + 1$$, $$y = -\frac{1}{6}x + \frac{5}{3}$$.

Средняя линия, параллельная BC: $$y - 2 = 2(x + 2)$$, $$y = 2x + 4 + 2$$, $$y = 2x + 6$$.

Средняя линия, параллельная AB: $$y - 4 = -0.6(x + 1)$$, $$y = -0.6x - 0.6 + 4$$, $$y = -0.6x + 3.4$$.

Ответ: а) $$y = \frac{5}{3}x + \frac{16}{3}$$, $$y = -0.5x + 3$$, $$y = 6x + 10$$. б) $$y = -0.6x + 0.8$$, $$y = 2x - 7$$, $$y = -\frac{1}{6}x + \frac{23}{6}$$. в) $$y = -\frac{1}{6}x + \frac{5}{3}$$, $$y = 2x + 6$$, $$y = -0.6x + 3.4$$.