1002 Напишите уравнение окружности, проходящей через три дан- ные точки: a) A (1; −4), B (4; 5), C (3; −2); б) А (3; −7), B (8; -2), C (6; 2).

a) Пусть уравнение окружности имеет вид: $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$$, где (a; b) - центр окружности, R - радиус.

Подставим координаты точек A(1; -4), B(4; 5), C(3; -2) в уравнение окружности:

$$(1 - a)^2 + (-4 - b)^2 = R^2$$ $$(4 - a)^2 + (5 - b)^2 = R^2$$ $$(3 - a)^2 + (-2 - b)^2 = R^2$$

Приравняем первые два уравнения:

$$(1 - a)^2 + (-4 - b)^2 = (4 - a)^2 + (5 - b)^2$$

$$1 - 2a + a^2 + 16 + 8b + b^2 = 16 - 8a + a^2 + 25 - 10b + b^2$$

$$17 - 2a + 8b = 41 - 8a - 10b$$

$$6a + 18b = 24$$

$$a + 3b = 4$$

$$a = 4 - 3b$$

Приравняем первое и третье уравнения:

$$(1 - a)^2 + (-4 - b)^2 = (3 - a)^2 + (-2 - b)^2$$

$$1 - 2a + a^2 + 16 + 8b + b^2 = 9 - 6a + a^2 + 4 + 4b + b^2$$

$$17 - 2a + 8b = 13 - 6a + 4b$$

$$4a + 4b = -4$$

$$a + b = -1$$

Подставим a = 4 - 3b:

$$4 - 3b + b = -1$$

$$-2b = -5$$

$$b = 2.5$$

Тогда $$a = -1 - b = -1 - 2.5 = -3.5$$

Центр окружности (-3.5; 2.5).

$$R^2 = (1 - (-3.5))^2 + (-4 - 2.5)^2 = (4.5)^2 + (-6.5)^2 = 20.25 + 42.25 = 62.5$$

Уравнение окружности: $$(x + 3.5)^2 + (y - 2.5)^2 = 62.5$$

б) Пусть уравнение окружности имеет вид: $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$$, где (a; b) - центр окружности, R - радиус.

Подставим координаты точек A(3; -7), B(8; -2), C(6; 2) в уравнение окружности:

$$(3 - a)^2 + (-7 - b)^2 = R^2$$ $$(8 - a)^2 + (-2 - b)^2 = R^2$$ $$(6 - a)^2 + (2 - b)^2 = R^2$$

Приравняем первые два уравнения:

$$(3 - a)^2 + (-7 - b)^2 = (8 - a)^2 + (-2 - b)^2$$

$$9 - 6a + a^2 + 49 + 14b + b^2 = 64 - 16a + a^2 + 4 + 4b + b^2$$

$$58 - 6a + 14b = 68 - 16a + 4b$$

$$10a + 10b = 10$$

$$a + b = 1$$

$$a = 1 - b$$

Приравняем второе и третье уравнения:

$$(8 - a)^2 + (-2 - b)^2 = (6 - a)^2 + (2 - b)^2$$

$$64 - 16a + a^2 + 4 + 4b + b^2 = 36 - 12a + a^2 + 4 - 4b + b^2$$

$$68 - 16a + 4b = 40 - 12a - 4b$$

$$-4a + 8b = -28$$

$$a - 2b = 7$$

Подставим a = 1 - b:

$$1 - b - 2b = 7$$

$$-3b = 6$$

$$b = -2$$

Тогда $$a = 1 - b = 1 - (-2) = 3$$

Центр окружности (3; -2).

$$R^2 = (3 - 3)^2 + (-7 - (-2))^2 = 0 + (-5)^2 = 25$$

Уравнение окружности: $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$

Ответ: a) (x + 3.5)² + (y - 2.5)² = 62.5; б) (x - 3)² + (y + 2)² = 25