5. Натуральные числа а, в, и с большие 1 таковы, что каждое из чисел a, c, a + b, a + b + c, b + c — простое. Докажите, что b делится на 3.

Дано: a, b, c > 1 и a, c, a + b, a + b + c, b + c - простые числа.

Доказать: b делится на 3.

Рассмотрим простые числа a и c. Они могут быть либо 3, либо иметь вид 3k + 1 или 3k + 2 (где k - целое число).

Если a = 3 и c = 3, то a + b, b + c должны быть простыми. Следовательно, b не может делиться на 3, иначе a + b и b + c будут делиться на 3 и не будут простыми.

Если a и c не делятся на 3, то возможны следующие варианты:

• a ≡ 1 (mod 3) и c ≡ 1 (mod 3)
• a ≡ 1 (mod 3) и c ≡ 2 (mod 3)
• a ≡ 2 (mod 3) и c ≡ 1 (mod 3)
• a ≡ 2 (mod 3) и c ≡ 2 (mod 3)

Рассмотрим сумму a + b + c. Если a + b + c - простое число, то a + b + c не делится на 3.

Если a ≡ 1 (mod 3) и c ≡ 1 (mod 3), то a + c ≡ 2 (mod 3). Если b не делится на 3, то b ≡ 1 (mod 3) или b ≡ 2 (mod 3). Если b ≡ 1 (mod 3), то a + b + c ≡ 0 (mod 3), что невозможно, так как a + b + c - простое число. Если b ≡ 2 (mod 3), то a + b + c ≡ 1 (mod 3). Тогда b + c ≡ 0 (mod 3), значит b+c не простое.

Если a ≡ 1 (mod 3) и c ≡ 2 (mod 3), то a + c ≡ 0 (mod 3). Значит, b должно делиться на 3, чтобы a + b + c было простым.

Если a ≡ 2 (mod 3) и c ≡ 1 (mod 3), то a + c ≡ 0 (mod 3). Значит, b должно делиться на 3, чтобы a + b + c было простым.

Если a ≡ 2 (mod 3) и c ≡ 2 (mod 3), то a + c ≡ 1 (mod 3). Если b не делится на 3, то b ≡ 1 (mod 3) или b ≡ 2 (mod 3). Если b ≡ 2 (mod 3), то a + b + c ≡ 0 (mod 3), что невозможно. Если b ≡ 1 (mod 3), то a + b ≡ 0 (mod 3), значит a+b не простое.

Следовательно, b должно делиться на 3.

Ответ: b делится на 3.