Найди значение выражения: (6³)² ⋅ 216³ _________ 367

Решение:

1. Упростим \( (6^3)^2 \) по свойству степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):
• \( (6^3)^2 = 6^{3 \cdot 2} = 6^6 \).
2. Представим \( 216 \) как степень числа 6. Известно, что \( 6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216 \).
3. Тогда \( 216^3 = (6^3)^3 \).
4. Применим свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):
• \( (6^3)^3 = 6^{3 \cdot 3} = 6^9 \).
5. Теперь выражение в числителе имеет вид: \( 6^6 \cdot 6^9 \).
6. Применим свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \):
• \( 6^6 \cdot 6^9 = 6^{6+9} = 6^{15} \).
7. Теперь наше выражение выглядит так: \( \frac{6^{15}}{367} \).
8. Число \( 367 \) является простым числом.
9. Число \( 6^{15} \) — это очень большое число, которое делится только на степени 6 и на 1.
10. Так как 367 не является делителем 6, то \( 6^{15} \) не делится на 367 нацело.
11. Возможно, в условии задачи опечатка, и число в знаменателе должно быть другим. Например, если бы в знаменателе было \( 6^2 = 36 \), то \( \frac{6^{15}}{6^2} = 6^{13} \). Если бы знаменатель был \( 36 \) и \( 216 \) было бы \( 6^2 \), то \( \frac{6^6
    \cdot (6^2)^3}{36} = \frac{6^6
    \cdot 6^6}{6^2} = \frac{6^{12}}{6^2} = 6^{10} \).
12. Исходя из предоставленного условия, \( 6^{15} \) не делится на 367.

Ответ: Выражение \( \frac{6^{15}}{367} \) не имеет целочисленного значения, так как 367 — простое число и не является делителем 6.