Найдите \(5 \sin \alpha\), если \(\cos \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}\) и \(\alpha \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)\).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Используем основное тригонометрическое тождество

   \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)

   Отсюда: \(\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}\)

2. Шаг 2: Подставим значение \(\cos \alpha\)

   \(\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - (\frac{2\sqrt{6}}{5})^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{4 \cdot 6}{25}} = \pm \sqrt{1 - \frac{24}{25}} = \pm \sqrt{\frac{1}{25}} = \pm \frac{1}{5}\)

3. Шаг 3: Определим знак синуса

   Так как \(\alpha \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)\), то есть угол находится в четвертой четверти, синус отрицателен.

   Следовательно, \(\sin \alpha = -\frac{1}{5}\)

4. Шаг 4: Вычислим \(5 \sin \alpha\)

   \(5 \sin \alpha = 5 \cdot (-\frac{1}{5}) = -1\)

Ответ: -1