Найдите $$\angle C$$, если $$\angle A = 72^\circ$$.

Изображён вписанный угол $$A$$, опирающийся на дугу $$BC$$. Центральный угол, опирающийся на эту же дугу, равен удвоенному вписанному углу, то есть $$2 \cdot 72^\circ = 144^\circ$$. Угол $$C$$ является вписанным и опирается на дугу $$AB$$. Так как сумма углов треугольника $$AOB$$, где $$O$$ - центр окружности равна $$180^\circ$$, и углы $$OAB$$ и $$OBA$$ равны, то угол $$AOB = 144^\circ$$. Следовательно, угол $$AOB$$ равен $$360^\circ - 144^\circ = 216^\circ$$. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то есть $$\angle C = \frac{1}{2} (180 - 72) = (180-144)/2 = (360 - 144)/2 = 108 $$. Так как сумма углов в треугольнике $$ABC$$ равна $$180^\circ$$, то $$\angle C = 180^\circ - (72^\circ + (180-144)/2)=180 - 72 - 18 \circ= 108^\circ - 18^\circ = 90^\circ $$.

Вписанный угол $$A$$ равен половине дуги, на которую он опирается, т.е. дуга $$BC = 2*72 = 144$$. Центральный угол $$BOC$$ тоже равен $$144$$ градуса. Т.к. сумма углов треугольника $$180$$, и $$BO=OC$$ (радиусы), углы $$OBC$$ и $$OCB$$ равны $$(180-144)/2 = 18$$ градусов. Т.к. сумма углов треугольника $$ABC$$ равна $$180$$, то угол $$C = 180 - A - B = 180 - 72 - (180 - 144)/2= 180 - 72 - 18 = 90$$