4. Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его основание равно 18 см, а угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, AC = 18 см, угол B = 120°.

Углы при основании равны: $$∠A = ∠C = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$$

Проведем высоту BH к основанию AC. BH также является медианой, поэтому AH = HC = 9 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем угол A = 30°, поэтому:

$$sin A = \frac{BH}{AB}$$

$$BH = AB \cdot sin A$$

$$cos A = \frac{AH}{AB}$$

$$AB = \frac{AH}{cos A} = \frac{9}{cos 30°} = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$$

Ответ: $$6\sqrt{3}$$ см.