6. Найдите диагональ AD правильного восьмиугольника ABCDEFKP, если AB = a.

Рассмотрим правильный восьмиугольник ABCDEFKP. Пусть сторона AB = a. Нам нужно найти длину диагонали AD. Диагональ AD соединяет вершины, между которыми две вершины (B и C). Можно представить диагональ AD как сумму отрезков, а именно, опустить перпендикуляры из точек B и C на AD, получим прямоугольник и два одинаковых прямоугольных треугольника. Угол между стороной и диагональю AC равен $$\frac{3 \cdot 180}{8} = 67.5^\circ$$ $$\angle BAC = \frac{180(8-2)}{8} = 135^\circ$$ $$\angle BCA = \angle CAD = (180 - 135) / 2 = 22.5^\circ$$ Длина AC равна: $$AC = 2a \cos 22.5^\circ$$ $$\angle DAB = 45^\circ$$ $$AD = AC \cos 22.5 + a + AC \cos 22.5 = a + 2a \cos 22.5^\circ$$ Следовательно, диагональ AD равна $$a + a\sqrt{2} + a = a(2 + \sqrt{2})$$. Ответ: $$a(1+\sqrt{2})$$