5. Сторона треугольника равна $$6\sqrt{3}$$ см, а прилежащие к ней углы равны $$50^\circ$$ и $$70^\circ$$. Найдите длины дуг, на которые делят окружность, описанную около треугольника, его вершины.

Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$. Третий угол треугольника равен: $$180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ$$ Центральный угол, опирающийся на дугу, равен удвоенному вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. Таким образом, центральные углы, соответствующие сторонам треугольника, равны: $$2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$$ $$2 \cdot 70^\circ = 140^\circ$$ $$2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$$ Длина дуги окружности вычисляется по формуле: $$l = \frac{\pi R \alpha}{180}$$, где R - радиус окружности, $$\alpha$$ - центральный угол в градусах. Сначала найдем радиус описанной окружности R. Используем теорему синусов: $$\frac{a}{\sin A} = 2R$$, где a - сторона треугольника, A - противолежащий угол. В нашем случае: $$\frac{6\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = 2R$$ $$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$2R = \frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 12$$ $$R = 6$$ см. Теперь найдем длины дуг: $$l_1 = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 100}{180} = \frac{10\pi}{3}$$ см $$l_2 = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 140}{180} = \frac{14\pi}{3}$$ см $$l_3 = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 120}{180} = 4\pi$$ см Ответ: $$\frac{10\pi}{3}$$ см, $$\frac{14\pi}{3}$$ см, $$4\pi$$ см