4. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен $$4\sqrt{2}$$ см, а сторона многоугольника – 8 см. Найдите: 1) радиус окружности, вписанной в многоугольник; 2) количество сторон многоугольника.

1) Найдем радиус вписанной окружности (r). Для правильного многоугольника радиус описанной окружности (R), радиус вписанной окружности (r) и сторона (a) связаны соотношением: $$R = \frac{a}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}$$ и $$r = \frac{a}{2 \tan(\frac{\pi}{n})}$$, где n - количество сторон. Из условия $$R = 4\sqrt{2}$$ и $$a = 8$$. Подставим в формулу для R: $$4\sqrt{2} = \frac{8}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}$$ $$\sin(\frac{\pi}{n}) = \frac{8}{8\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$\frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{4}$$, следовательно, $$n = 4$$ (это квадрат). Теперь найдем радиус вписанной окружности: $$r = \frac{8}{2 \tan(\frac{\pi}{4})} = \frac{8}{2 \cdot 1} = 4$$ см. 2) Количество сторон многоугольника мы уже нашли, оно равно 4. Ответ: 1) 4 см; 2) 4