Найдите длину хорды окружности радиусом 13, если расстояние от центра окружности до хорды равно 5.

Решение:

Пусть \( O \) — центр окружности, \( R = 13 \) — радиус окружности.

Пусть \( AB \) — хорда, а \( OC \) — перпендикуляр, опущенный из центра \( O \) на хорду \( AB \). По условию \( OC = 5 \).

Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит хорду пополам. Значит, \( AC = CB \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( OAC \). В нём известны катет \( OC = 5 \) и гипотенуза \( OA = R = 13 \).

По теореме Пифагора найдём длину катета \( AC \):

\[ OA^2 = OC^2 + AC^2 \]

\[ 13^2 = 5^2 + AC^2 \]

\[ 169 = 25 + AC^2 \]

\[ AC^2 = 169 - 25 \]

\[ AC^2 = 144 \]

\[ AC = \sqrt{144} = 12 \]

Так как \( C \) делит хорду \( AB \) пополам, то длина хорды \( AB \) равна:

\[ AB = 2 \cdot AC = 2 \cdot 12 = 24 \]

Ответ: 24