Найдите длину медианы BM треугольника ABC, если известно, что AB = 11, BC = 18, ∠ABM = 72° и ∠CBM = 36°. (По рисунку M — середина AC.)

Поскольку BM — медиана, M — середина AC. Угол ABC равен 72° + 36° = 108°.

По теореме косинусов в треугольнике ABC:

AC² = 11² + 18² − 2·11·18·cos 108°.

Пусть BM = x. Так как AM = MC, теорема Аполлония даёт AB² + BC² = 2(BM² + AM²), а AC² = 4AM². Следовательно, BM² = (2AB² + 2BC² − AC²)/4.

Подставим выражение для AC²: BM² = (11² + 18² + 2·11·18·cos 108°)/2 = (445 + 396·cos 108°)/2.

Так как cos 108° = −cos 72°, получаем BM = √((445 − 396·cos 72°)/2) ≈ 13.32.

Ответ: BM ≈ 13,32.