7. Найдите для функции у = х²+ 6x-8: a) область определения; 6) множество значений; в) наименьшее (наибольшее) изне; г) уравнение оси симметрии Vitalik д) пули; е) промежутки знакопостоянства: ж) промежутки монотонности.

Ответ: a) (-∞; +∞), б) [-17; +∞), в) y = -17, г) x = -3, д) x = -3±√17, е) (-∞; -3-√17) и (-3+√17; +∞), ж) убывает: (-∞; -3], возрастает: [-3; +∞)

• a) Область определения:

Для квадратичной функции y = x² + 6x - 8 область определения - это все действительные числа, так как нет ограничений на значения x. Таким образом, область определения: (-∞; +∞).

• б) Множество значений:

Чтобы найти множество значений, определим вершину параболы. Координата x вершины: x_v = -b / (2a) = -6 / (2 * 1) = -3. Координата y вершины: y_v = (-3)² + 6 * (-3) - 8 = 9 - 18 - 8 = -17. Так как коэффициент при x² положительный (a = 1), парабола открыта вверх, и наименьшее значение функции равно -17. Таким образом, множество значений: [-17; +∞).

• в) Наименьшее значение:

Наименьшее значение функции достигается в вершине параболы и равно -17.

• г) Уравнение оси симметрии:

Ось симметрии проходит через вершину параболы. Уравнение оси симметрии: x = -3.

• д) Нули функции:

Решим уравнение x² + 6x - 8 = 0. Используем квадратное уравнение: D = b² - 4ac = 6² - 4 * 1 * (-8) = 36 + 32 = 68. Корни уравнения: x_1 = (-b + √D) / (2a) = (-6 + √68) / 2 = (-6 + 2√17) / 2 = -3 + √17, x_2 = (-b - √D) / (2a) = (-6 - √68) / 2 = (-6 - 2√17) / 2 = -3 - √17. Таким образом, нули функции: x = -3 + √17 и x = -3 - √17.

• е) Промежутки знакопостоянства:

Функция положительна (y > 0) при x < -3 - √17 и x > -3 + √17. Функция отрицательна (y < 0) при -3 - √17 < x < -3 + √17.

• ж) Промежутки монотонности:

Так как парабола открыта вверх, функция убывает до вершины и возрастает после вершины. Функция убывает на интервале (-∞; -3] и возрастает на интервале [-3; +∞).

Ответ: a) (-∞; +∞), б) [-17; +∞), в) y = -17, г) x = -3, д) x = -3±√17, е) (-∞; -3-√17) и (-3+√17; +∞), ж) убывает: (-∞; -3], возрастает: [-3; +∞)