1. Найдите градусную меру центрального \(\angle MON\), если известно, \(NP\) — диаметр, а градусная мера \(\angle MNP\) равна \(18^\circ\).

Угол \(\angle MNP\) — вписанный угол, опирающийся на дугу \(MP\). Центральный угол \(\angle MON\) опирается на ту же дугу \(MP\). Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно, величина центрального угла \(\angle MOP\) равна удвоенной величине вписанного угла \(\angle MNP\), то есть \(\angle MOP = 2 \cdot 18^\circ = 36^\circ\). Так как \(NP\) — диаметр, то угол \(\angle NMP\) прямой (равен \(90^\circ\), так как опирается на диаметр). Тогда угол \(\angle MNP = 18^\circ\). Следовательно, \(\angle MPN = 90^\circ\). Рассмотрим треугольник \(\triangle MNP\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). Тогда \(\angle MNP + \angle NMP + \angle MPN = 180^\circ\), или \(18^\circ + 90^\circ + \angle MPN = 180^\circ\). Отсюда \(\angle MPN = 180^\circ - 90^\circ - 18^\circ = 72^\circ\). Центральный угол \(\angle MON\) опирается на дугу \(MN\). Вписанный угол \(\angle MPN\) опирается на ту же дугу \(MN\). Значит, \(\angle MON = 2 \cdot \angle MPN = 2 \cdot 72^\circ = 144^\circ\). Ответ: \(\angle MON = 36^\circ\)