16 Найдите хорду, на которую опирается угол 135°, вписанный в окружность радиуса 3/2.

Найдем хорду, на которую опирается угол 135°, вписанный в окружность радиуса $$3\sqrt{2}$$.

Пусть дан вписанный угол $$∠ABC = 135°$$, опирающийся на хорду AC. Радиус окружности R = $$3\sqrt{2}$$. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного угла. Значит, центральный угол $$∠AOC = 2 \cdot 135° = 270°$$. Однако, будем рассматривать дугу, на которую опирается вписанный угол, как меньшую дугу, тогда центральный угол, опирающийся на эту дугу: $$360° - 270° = 90°$$.

Рассмотрим треугольник AOC, образованный двумя радиусами и хордой AC. Этот треугольник равнобедренный, OA = OC = R. Угол $$∠AOC = 90°$$, значит, треугольник AOC - прямоугольный и равнобедренный. Тогда хорда AC является гипотенузой, и её можно найти по теореме Пифагора:

$$AC^2 = OA^2 + OC^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$$ $$AC = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6$$

Ответ: 6