561. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 см².

Пусть один катет равен $$a$$ см, другой $$b$$ см.

$$a + b = 23$$

$$\frac{1}{2}ab = 60$$

Выразим $$a$$ через $$b$$ из первого уравнения:

$$a = 23 - b$$

Подставим во второе уравнение:

$$\frac{1}{2}(23 - b)b = 60$$

$$(23 - b)b = 120$$

$$23b - b^2 = 120$$

$$b^2 - 23b + 120 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 529 - 480 = 49$$

$$b_1 = \frac{-(-23) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15$$

$$b_2 = \frac{-(-23) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

Если $$b = 15$$ см, то $$a = 23 - 15 = 8$$ см

Если $$b = 8$$ см, то $$a = 23 - 8 = 15$$ см

Ответ: 8 см и 15 см