5. Найдите координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудалённой от точек Р (7; -3) и К (-4; -2).

Решение:

Пусть точка, принадлежащая оси абсцисс, имеет координаты (x; 0). Обозначим её как A(x; 0). Нужно найти такую точку A, чтобы расстояние от неё до точек P(7; -3) и K(-4; -2) было одинаковым, то есть AP = AK.

Расстояние между двумя точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂) вычисляется по формуле:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Тогда:

$$AP = \sqrt{(7 - x)^2 + (-3 - 0)^2} = \sqrt{(7 - x)^2 + 9}$$ $$AK = \sqrt{(-4 - x)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(-4 - x)^2 + 4}$$

Приравняем квадраты расстояний AP² = AK²:

$$(7 - x)^2 + 9 = (-4 - x)^2 + 4$$ $$49 - 14x + x^2 + 9 = 16 + 8x + x^2 + 4$$ $$58 - 14x + x^2 = 20 + 8x + x^2$$

Сократим x² и перенесем все члены с x в одну сторону, а числа в другую:

$$-14x - 8x = 20 - 58$$ $$-22x = -38$$ $$x = \frac{-38}{-22} = \frac{38}{22} = \frac{19}{11}$$

Таким образом, координаты точки A, принадлежащей оси абсцисс и равноудаленной от точек P и K, равны (19/11; 0).

Ответ: (19/11; 0)