17. Найдите корень уравнения 27^(x-2) * 25^(-3x) = 1. Ответ:

Давай найдем корень уравнения \(27^{x-2} \cdot 25^{-3x} = 1\). Сначала перепишем уравнение, используя свойства степеней: \[(3^3)^{x-2} \cdot (5^2)^{-3x} = 1\] \[3^{3(x-2)} \cdot 5^{-6x} = 1\] \[3^{3x-6} \cdot 5^{-6x} = 1\] Чтобы решить это уравнение, нужно привести обе части к одному основанию. Заметим, что 1 можно представить как любое число в степени 0. Однако, в данном виде, решить напрямую не получится. Нужно попробовать преобразовать выражение. Поскольку нам нужно, чтобы выражение равнялось 1, попробуем сгруппировать члены так, чтобы получить что-то в духе \(\frac{a}{a} = 1\). Перепишем уравнение: \[\frac{3^{3x}}{3^6} \cdot \frac{1}{5^{6x}} = 1\] \[\frac{3^{3x}}{5^{6x}} = 3^6\] \[\frac{3^{3x}}{(5^2)^{3x}} = 3^6\] \[\frac{3^{3x}}{25^{3x}} = 3^6\] \[\left(\frac{3}{25}\right)^{3x} = 3^6\] Здесь мы видим, что простого решения не получается. Возвращаемся к исходному уравнению и логарифмируем обе части. \[3^{3x-6} \cdot 5^{-6x} = 1\] Логарифмируем по основанию 10: \[\lg(3^{3x-6} \cdot 5^{-6x}) = \lg(1)\] \[\lg(3^{3x-6}) + \lg(5^{-6x}) = 0\] \[(3x-6)\lg(3) - 6x\lg(5) = 0\] \[3x\lg(3) - 6\lg(3) - 6x\lg(5) = 0\] \[3x\lg(3) - 6x\lg(5) = 6\lg(3)\] \[x(3\lg(3) - 6\lg(5)) = 6\lg(3)\] \[x = \frac{6\lg(3)}{3\lg(3) - 6\lg(5)}\] \[x = \frac{2\lg(3)}{\lg(3) - 2\lg(5)}\] \[x = \frac{2\lg(3)}{\lg(3) - \lg(5^2)}\] \[x = \frac{2\lg(3)}{\lg(3) - \lg(25)}\] \[x = \frac{2\lg(3)}{\lg(\frac{3}{25})}\] Это точное решение, но его сложно упростить до красивого значения. Проверим, нет ли ошибки в исходном условии. Если бы было \(25^{3x}\), а не \(25^{-3x}\), то решение было бы проще. Предположим, что в условии опечатка, и должно быть \(27^{x-2} \cdot 25^{3x} = 1\). \[3^{3x-6} \cdot 5^{6x} = 1\] \[3^{3x-6} = 5^{-6x}\] \[3^{3x-6} = \frac{1}{5^{6x}}\] \[3^{3x} \cdot 3^{-6} = \frac{1}{5^{6x}}\] \[3^{3x} \cdot 5^{6x} = 3^6\]\[3^{3x} \cdot (5^2)^{3x} = 3^6\]\[3^{3x} \cdot 25^{3x} = 3^6\]\[(3 \cdot 25)^{3x} = 3^6\]\[75^{3x} = 3^6\]\[(3 \cdot 25)^{3x} = (75)^{3x} = 3^6\]\[75^{3x} = 3^6\]\[(3 \cdot 25)^{3x} = 3^6\]\[(3 \cdot 5^2)^{3x} = 3^6\] Если бы было \(27^{2-x} \cdot 25^{-3x} = 1\), тогда: \[27^{2-x} = 25^{3x}\]\[3^{3(2-x)} = 5^{6x}\]\[3^{6-3x} = 5^{6x}\]\[\frac{3^6}{3^{3x}} = 5^{6x}\]\[3^6 = 5^{6x} \cdot 3^{3x}\]\[3^6 = 5^{6x} \cdot 3^{3x}\] \[3^6 = (5^2)^{3x} \cdot 3^{3x}\] \[3^6 = 25^{3x} \cdot 3^{3x}\] \[3^6 = (25 \cdot 3)^{3x}\] \[3^6 = 75^{3x}\] \[3^6 = (3 \cdot 25)^{3x}\] \[3^6 = (3 \cdot 5^2)^{3x}\] \[3^6 = 3^{3x} 5^{6x}\] Если \(x = \frac{2\lg 3}{\lg 3 - 2 \lg 5}\), то \(3x = \frac{6 \lg 3}{\lg 3 - 2 \lg 5}\) Если допустить, что в условии все-таки опечатка, и уравнение выглядит так: 27^(2-x) * 25^(-3x) = 1, тогда: \[27^{2-x} \cdot 25^{-3x} = 1\] \[\frac{27^2-x}{25^{3x}} = 1\] \[27^{2-x} = 25^{3x}\] \[\log_{27} {27^{2-x}} = \log_{27} {25^{3x}}\] \[(2-x)\log_{27} 27 = 3x \log_{27} 25\] \[2-x = 3x \log_{27} 25\] \[2 = x(1 + 3 \log_{27} 25)\] \[x = \frac{2}{1 + 3 \log_{27} 25}\] К сожалению, без упрощения, в таком виде и оставим.

Ответ: \(\frac{2\lg(3)}{\lg(3) - 2\lg(5)}\) или \(\frac{2}{1 + 3 \log_{27} 25}\) (если в условии опечатка)

Не расстраивайся, если сразу не получилось! Главное - не сдаваться и пробовать разные подходы!