13. Найдите корень уравнения. 2 log4 (8x+1) = 9

13. Найдем корень уравнения 2^log₄(8x+1) = 9

Прологарифмируем обе части по основанию 2:

log₂(2^log₄(8x+1)) = log₂9

log₄(8x+1) = log₂9

(log₂(8x+1))/(log₂4) = log₂9

(log₂(8x+1))/2 = log₂9

log₂(8x+1) = 2log₂9

log₂(8x+1) = log₂9²

log₂(8x+1) = log₂81

Так как основания логарифмов равны, то:

8x + 1 = 81

8x = 81 - 1

8x = 80

x = 80 / 8

x = 10

Проверка:

2^{log₄(8 × 10 + 1)} = 2^log₄(81) = 2^{log₄3^4} = 2^{4 × log₄3} = (2^log₄3)⁴ = (2^{log₂3/log₂4})⁴ = (2^log₂3/2)⁴ = (2^1/2log₂3)⁴ = (2^{log₂3^(1/2)})⁴ = (3^1/2)⁴ = 3² = 9

Ответ: 10