Найдите корень уравнения \(3^{\log_9(2x+7)}=2\).

ОДЗ: \(2x+7>0\), то есть \(x>-\frac{7}{2}\).

Так как \(9=3^2\), имеем \(\log_9(2x+7)=\frac{1}{2}\log_3(2x+7)\). Тогда

\(3^{\frac{1}{2}\log_3(2x+7)}=2\), или \(\sqrt{2x+7}=2\).

Возводим обе части в квадрат: \(2x+7=4\), откуда \(x=-\frac{3}{2}\). Значение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: \(-\frac{3}{2}\).