Найдите корень уравнения 2log₃(x+2)=1+log₃ (4x+8). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решим уравнение 2log₃(x+2)=1+log₃ (4x+8).

$$2log_3(x+2) = 1 + log_3(4x+8)$$

$$log_3(x+2)^2 = log_3 3 + log_3(4x+8)$$

$$log_3(x+2)^2 = log_3(3(4x+8))$$

$$log_3(x+2)^2 = log_3(12x+24)$$

$$(x+2)^2 = 12x+24$$

$$x^2 + 4x + 4 = 12x + 24$$

$$x^2 - 8x - 20 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

$$x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20)}}{2 \cdot 1}$$

$$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$$

$$x = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{2}$$

$$x = \frac{8 \pm 12}{2}$$

$$x_1 = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10$$

$$x_2 = \frac{8 - 12}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Проверим корни:

1) x = 10

$$2log_3(10+2) = 1 + log_3(4 \cdot 10 + 8)$$

$$2log_3(12) = 1 + log_3(48)$$

$$log_3 144 = log_3 3 + log_3 48$$

$$log_3 144 = log_3(3 \cdot 48)$$

$$log_3 144 = log_3 144$$

2) x = -2

$$2log_3(-2+2) = 1 + log_3(4 \cdot (-2) + 8)$$

$$2log_3(0) = 1 + log_3(0)$$

log₃(0) не существует, следовательно, х = -2 не является корнем уравнения.

Меньший из корней равен -2, но он не подходит.

Следовательно, корень уравнения равен 10.

Ответ: 10