Найдите корень уравнения log₇(2x²-5) = log₇(x²-4x).

Решение:

1. ОДЗ (Область допустимых значений): Чтобы логарифм был определён, аргументы должны быть положительными.
   • \[ 2x^2 - 5 > 0 \]
   • \[ x^2 - 4x > 0 \]
2. Решаем первое неравенство:\[ 2x^2 > 5 \]\[ x^2 > \frac{5}{2} \]\[ x < -\sqrt{\frac{5}{2}} \quad \text{или} \quad x > \sqrt{\frac{5}{2}} \]
3. Решаем второе неравенство:\[ x(x - 4) > 0 \]\[ x < 0 \quad \text{или} \quad x > 4 \]
4. Объединяем ОДЗ: С учетом того, что\[ \sqrt{\frac{5}{2}} \approx \sqrt{2.5} \approx 1.58 \], то:\[ (x < -1.58 \quad \text{или} \quad x > 1.58) \quad \text{и} \quad (x < 0 \quad \text{или} \quad x > 4) \]\[ \implies x < -1.58 \quad \text{или} \quad x > 4 \]
5. Приравниваем аргументы логарифмов: Так как основания логарифмов равны (7), можем приравнять их аргументы:\[ 2x^2 - 5 = x^2 - 4x \]
6. Решаем полученное квадратное уравнение:\[ 2x^2 - x^2 + 4x - 5 = 0 \]\[ x^2 + 4x - 5 = 0 \]
7. Используем дискриминант:\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36 \]
8. Находим корни:\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 6}{2(1)} = \frac{2}{2} = 1 \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 6}{2(1)} = \frac{-10}{2} = -5 \]
9. Проверяем корни по ОДЗ:
   • Корень $$x_1 = 1$$ не удовлетворяет условию $$x < -1.58$$ или $$x > 4$$.
   • Корень $$x_2 = -5$$ удовлетворяет условию $$x < -1.58$$.

Ответ: -5