Цилиндр вписан в конус. Высота конуса в два раза больше высоты цилиндра. Найдите объём цилиндра, если объём конуса равен 72.

Дано:

• Объём конуса $$V_{конуса} = 72$$
• Высота конуса $$H = 2h$$, где $$h$$ — высота цилиндра

Найти: Объём цилиндра $$V_{цилиндра}$$

Решение:

1. Формула объёма конуса:\[ V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi R^2 H \]где $$R$$ — радиус основания конуса.
2. Формула объёма цилиндра:\[ V_{цилиндра} = \pi r^2 h \]где $$r$$ — радиус основания цилиндра.
3. Связь между радиусами и высотами: Подобные треугольники, образованные осью конуса, его радиусом и образующей, позволяют установить зависимость между радиусами и высотами.
4. Из подобия треугольников:\[ \frac{r}{R} = \frac{h}{H} \]Так как $$H = 2h$$, то:\[ \frac{r}{R} = \frac{h}{2h} = \frac{1}{2} \]Отсюда следует, что $$r = \frac{1}{2} R$$.
5. Связь объёмов: Подставим $$H = 2h$$ и $$r = \frac{1}{2} R$$ в формулу объёма цилиндра:\[ V_{цилиндра} = \pi \left( \frac{1}{2} R \right)^2 (2h) = \pi \frac{1}{4} R^2 \times 2h = \frac{1}{2} \pi R^2 h \]
6. Сравним объёмы:\[ V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi R^2 (2h) = \frac{2}{3} \pi R^2 h \]
7. Найдем объём цилиндра: Мы знаем, что\[ V_{конуса} = \frac{2}{3} \pi R^2 h = 72 \]Тогда:\[ \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{72}{2} = 36 \]Теперь найдем объём цилиндра:\[ V_{цилиндра} = \frac{1}{2} \pi R^2 h = \frac{3}{4} \times \left( \frac{2}{3} \pi R^2 h \right) = \frac{3}{4} \times 72 = 54 \]
8. Или проще:\[ V_{цилиндра} = \frac{1}{2} \pi r^2 h \]Так как $$r = R/2$$ и $$h=H/2$$, то\[ V_{цилиндра} = \pi (R/2)^2 (H/2) = \pi \frac{R^2}{4} \frac{H}{2} = \frac{1}{8} \pi R^2 H \]А объём конуса:\[ V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi R^2 H = 72 \]Значит, \( \pi R^2 H = 72 \times 3 = 216 \).
9. Подставим в объём цилиндра:\[ V_{цилиндра} = \frac{1}{8} \times 216 = 27 \]
10. Давай перепроверим. Если высота конуса в 2 раза больше высоты цилиндра, то $$H=2h$$. Радиус цилиндра $$r$$ и радиус конуса $$R$$. Подобные треугольники: $$r/R = h/H = h/(2h) = 1/2$$. Значит $$r=R/2$$.
11. Объём конуса: $$V_{к} = (1/3) * \pi * R^2 * H = 72$$.
12. Объём цилиндра: $$V_{ц} = \pi * r^2 * h = \pi * (R/2)^2 * (H/2) = \pi * (R^2/4) * (H/2) = (1/8) * \pi * R^2 * H$$.
13. $$V_{к} = (1/3) * \pi * R^2 * H = 72 => \pi * R^2 * H = 216$$.
14. $$V_{ц} = (1/8) * 216 = 27$$.

Ответ: 27