Найдите значение выражения cos(π/12) * (sin²(5π/24) - cos²(5π/24)).

Решение:

1. Применим тригонометрические формулы:
   • Формула косинуса двойного угла:\[ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \]Тогда\[ \sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha) = -\cos(2\alpha) \]
2. Применим к нашей задаче: В нашем выражении есть часть\[ \sin^2(\frac{5\pi}{24}) - \cos^2(\frac{5\pi}{24}) \]. Это равно\[ -\cos(2 \times \frac{5\pi}{24}) = -\cos(\frac{10\pi}{24}) = -\cos(\frac{5\pi}{12}) \]
3. Подставим обратно в исходное выражение:\[ \cos(\frac{\pi}{12}) \times (-\cos(\frac{5\pi}{12})) = - \cos(\frac{\pi}{12}) \cos(\frac{5\pi}{12}) \]
4. Применим формулу произведения косинусов:\[ \cos(\alpha) \cos(\beta) = \frac{1}{2} [ \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) ] \]В нашем случае\[ \alpha = \frac{\pi}{12}, \quad \beta = \frac{5\pi}{12} \]
5. Вычисляем:\[ - \frac{1}{2} [ \cos(\frac{\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}) + \cos(\frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}) ] \]\[ = - \frac{1}{2} [ \cos(-\frac{4\pi}{12}) + \cos(\frac{6\pi}{12}) ] \]\[ = - \frac{1}{2} [ \cos(-\frac{\pi}{3}) + \cos(\frac{\pi}{2}) ] \]
6. Значения косинусов:
   • \[ \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \]
   • \[ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \]
7. Подставляем значения:\[ = - \frac{1}{2} [ \frac{1}{2} + 0 ] = - \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} \]

Ответ: -0.25