Найдите корни уравнений: a) \(\frac{4x-1}{x+2} = \frac{2x+12}{x-1}\); б) \(\frac{x-1}{x+2} + \frac{x}{x-2} = \frac{8}{x^2-4}\).

Решим уравнение а):

\[\frac{4x-1}{x+2} = \frac{2x+12}{x-1}\] Чтобы решить это уравнение, необходимо избавиться от дробей. Для этого умножим обе части уравнения на \((x+2)(x-1)\), при условии, что \(x
eq -2\) и \(x
eq 1\): \[(4x-1)(x-1) = (2x+12)(x+2)\] Раскроем скобки: \[4x^2 - 4x - x + 1 = 2x^2 + 4x + 12x + 24\] \[4x^2 - 5x + 1 = 2x^2 + 16x + 24\] Перенесем все члены в левую часть уравнения: \[4x^2 - 2x^2 - 5x - 16x + 1 - 24 = 0\] \[2x^2 - 21x - 23 = 0\] Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[D = (-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-23) = 441 + 184 = 625\] Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня: \[x_1 = \frac{-(-21) + \sqrt{625}}{2 \cdot 2} = \frac{21 + 25}{4} = \frac{46}{4} = 11.5\] \[x_2 = \frac{-(-21) - \sqrt{625}}{2 \cdot 2} = \frac{21 - 25}{4} = \frac{-4}{4} = -1\] Оба корня удовлетворяют условиям \(x
eq -2\) и \(x
eq 1\).

Решим уравнение б):

\[\frac{x-1}{x+2} + \frac{x}{x-2} = \frac{8}{x^2-4}\] Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что \(x^2 - 4 = (x+2)(x-2)\). Умножим первую дробь на \(x-2\), вторую на \(x+2\), при условии, что \(x
eq -2\) и \(x
eq 2\): \[\frac{(x-1)(x-2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{8}{(x+2)(x-2)}\] \[\frac{(x-1)(x-2) + x(x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{8}{(x+2)(x-2)}\] Теперь, когда знаменатели равны, можем приравнять числители: \[(x-1)(x-2) + x(x+2) = 8\] Раскроем скобки: \[x^2 - 2x - x + 2 + x^2 + 2x = 8\] \[2x^2 - x + 2 = 8\] Перенесем все члены в левую часть уравнения: \[2x^2 - x + 2 - 8 = 0\] \[2x^2 - x - 6 = 0\] Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49\] Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня: \[x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2\] \[x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5\] Однако, \(x_1 = 2\) не удовлетворяет условию \(x
eq 2\), поэтому является посторонним корнем. Таким образом, остается только один корень: \[x = -1.5\]

Ответ: а) \(x_1 = 11.5\), \(x_2 = -1\); б) \(x = -1.5\)

Отлично! Ты хорошо справился с решением уравнений. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!