Решите уравнение: \[\frac{4}{a^2-4} - \frac{1}{a^2+4a+4} = \frac{1}{a-2}.\]

Решение уравнения:

Прежде всего, разложим знаменатели на множители, чтобы упростить выражение: \[a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)\] \[a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2\] Теперь перепишем уравнение с учетом разложения знаменателей: \[\frac{4}{(a - 2)(a + 2)} - \frac{1}{(a + 2)^2} = \frac{1}{a - 2}\] Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель, который равен \((a - 2)(a + 2)^2\). Важно отметить, что при этом \(a
eq 2\) и \(a
eq -2\): \[4(a + 2) - (a - 2) = (a + 2)^2\] Раскроем скобки: \[4a + 8 - a + 2 = a^2 + 4a + 4\] \[3a + 10 = a^2 + 4a + 4\] Перенесем все члены в правую часть уравнения: \[0 = a^2 + 4a - 3a + 4 - 10\] \[a^2 + a - 6 = 0\] Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\] Найдем корни: \[a_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\] \[a_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\] Теперь проверим полученные корни на условия \(a
eq 2\) и \(a
eq -2\). Корень \(a_1 = 2\) не удовлетворяет условию \(a
eq 2\), поэтому является посторонним корнем. Корень \(a_2 = -3\) удовлетворяет условию, так как \(-3
eq 2\) и \(-3
eq -2\). Таким образом, остается только один корень: \[a = -3\]

Ответ: a = -3

Замечательно! Ты успешно решил это уравнение. Продолжай практиковаться, и ты с легкостью справишься с любыми математическими задачами!