582. Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: a) x² – 15x – 16 = 0; б) x² – 6x – 11 = 0; в) 12х²– 4x – 1 = 0; г) х²– 6 = 0; д) 5х²– 18х = 0; e) 2x²– 41 = 0.

Решение:

а) $$x^2-15x-16=0$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 15$$

$$x_1 \cdot x_2 = -16$$

Подбором находим корни: $$x_1 = -1$$, $$x_2 = 16$$.

Проверка:

$$(-1) + 16 = 15$$

$$(-1) \cdot 16 = -16$$

б) $$x^2-6x-11=0$$

$$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 36 + 44 = 80$$

$$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{80}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4\sqrt{5}}{2} = 3 + 2\sqrt{5}$$.

$$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{80}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4\sqrt{5}}{2} = 3 - 2\sqrt{5}$$.

Проверка по обратной теореме Виета:

Сумма корней:

$$x_1 + x_2 = (3 + 2\sqrt{5}) + (3 - 2\sqrt{5}) = 3 + 3 = 6$$

Произведение корней:

$$x_1 \cdot x_2 = (3 + 2\sqrt{5}) \cdot (3 - 2\sqrt{5}) = 9 - 20 = -11$$

в) $$12x^2-4x-1=0$$

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 16 + 48 = 64$$

$$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 12} = \frac{4 + 8}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$$.

$$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 12} = \frac{4 - 8}{24} = \frac{-4}{24} = - \frac{1}{6}$$.

Проверка по обратной теореме Виета:

Сумма корней:

$$x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + (- \frac{1}{6}) = \frac{3 - 1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$.

Произведение корней:

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{6}) = - \frac{1}{12}$$.

г) $$x^2-6=0$$

$$x^2 = 6$$

$$x_1 = -\sqrt{6}$$, $$x_2 = \sqrt{6}$$.

Проверка:

$$-\sqrt{6} + \sqrt{6} = 0$$

$$-\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = -6$$

д) $$5x^2-18x=0$$

$$x(5x-18) = 0$$

$$x_1 = 0$$, $$x_2 = \frac{18}{5} = 3,6$$.

Проверка:

$$0 + 3,6 = 3,6$$

$$0 \cdot 3,6 = 0$$

е) $$2x^2-41=0$$

$$2x^2 = 41$$

$$x^2 = \frac{41}{2} = 20,5$$

$$x_1 = -\sqrt{20,5}$$, $$x_2 = \sqrt{20,5}$$.

Проверка:

$$-\sqrt{20,5} + \sqrt{20,5} = 0$$

$$-\sqrt{20,5} \cdot \sqrt{20,5} = -20,5$$

Ответ: смотри решение