5. Найдите корни уравнения sin 10x sin 2x = sin 8x sin 4х, при-надлежащие промежутку [- , ].

Ответ:

Корни уравнения \(\sin 10x \sin 2x = \sin 8x \sin 4x\), принадлежащие промежутку \(\[-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}\]\)

Пошаговое решение:

1. Преобразуем произведение синусов в разность косинусов: \[\sin a \sin b = \frac{1}{2}(\cos(a - b) - \cos(a + b))\]
2. Тогда уравнение принимает вид: \[\frac{1}{2}(\cos 8x - \cos 12x) = \frac{1}{2}(\cos 4x - \cos 12x)\]
3. Умножим обе части на 2: \[\cos 8x - \cos 12x = \cos 4x - \cos 12x\]
4. Сократим \(-\cos 12x\): \[\cos 8x = \cos 4x\]
5. Преобразуем уравнение: \[\cos 8x - \cos 4x = 0\]
6. Преобразуем разность косинусов в произведение: \[-2 \sin \frac{8x + 4x}{2} \sin \frac{8x - 4x}{2} = 0\] \[-2 \sin 6x \sin 2x = 0\]
7. Тогда либо \[\sin 6x = 0\] либо \[\sin 2x = 0\]
8. Решим первое уравнение: \[6x = \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[x = \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}\]
9. Решим второе уравнение: \[2x = \pi k, k \in \mathbb{Z}\] \[x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}\]
10. Найдем корни, принадлежащие промежутку \(\[-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}\]\).
11. Для первого уравнения: \[-\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi n}{6} \le \frac{\pi}{2}\] \[-1 \le n \le 3\] \[n = -1, 0, 1, 2, 3\] \[x = -\frac{\pi}{6}, 0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\]
12. Для второго уравнения: \[-\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi k}{2} \le \frac{\pi}{2}\] \[-\frac{1}{3} \le k \le 1\] \[k = 0, 1\] \[x = 0, \frac{\pi}{2}\]
13. Объединим корни: \[x = -\frac{\pi}{6}, 0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\]

Ответ: \(x = -\frac{\pi}{6}, 0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\)