4. Найдите sin², если ctg (+x) = 2√6, х ∈ ( ; π).

Ответ:

\[\sin^2 x = \frac{25}{100}\]

Пошаговое решение:

1. Используем формулу приведения: \[\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} + x) = -\operatorname{tg} x\]
2. Тогда \[-\operatorname{tg} x = 2\sqrt{6}\] \[\operatorname{tg} x = -2\sqrt{6}\]
3. Используем тождество: \[1 + \operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\]
4. Подставим значение тангенса: \[1 + (-2\sqrt{6})^2 = \frac{1}{\cos^2 x}\] \[1 + 4 \cdot 6 = \frac{1}{\cos^2 x}\] \[25 = \frac{1}{\cos^2 x}\] \[\cos^2 x = \frac{1}{25}\]
5. Используем основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2 x + \cos^2 x = 1\] \[\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\]
6. Подставим значение \(\cos^2 x\): \[\sin^2 x = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}\]

Ответ: \(\frac{24}{25}\)