6. Решите уравнение: a) √3 sin x + cos x = √2; б) 1-cos = tg .

Ответ:

a) Решим уравнение: \(\sqrt{3} \sin x + \cos x = \sqrt{2}\)

Пошаговое решение:

1. Разделим обе части уравнения на 2: \[\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\]
2. Заметим, что \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos \frac{\pi}{6}\) и \(\frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}\): \[\cos \frac{\pi}{6} \sin x + \sin \frac{\pi}{6} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\]
3. Используем формулу синуса суммы: \[\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\]
4. Тогда \[x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] или \[x + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]
5. Решим первое уравнение: \[x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{12} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]
6. Решим второе уравнение: \[x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \(x = \frac{\pi}{12} + 2\pi n, x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\)

б) Решим уравнение: \(1 - \cos \frac{x}{2} = \operatorname{tg} \frac{x}{4}\)

Пошаговое решение:

1. Используем формулы половинного угла: \[\cos \frac{x}{2} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{4}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{4}}\]
2. Тогда уравнение принимает вид: \[1 - \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{4}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{4}} = \operatorname{tg} \frac{x}{4}\]
3. Пусть \(t = \operatorname{tg} \frac{x}{4}\). Тогда: \[1 - \frac{1 - t^2}{1 + t^2} = t\]
4. Приведем к общему знаменателю: \[\frac{1 + t^2 - (1 - t^2)}{1 + t^2} = t\] \[\frac{2t^2}{1 + t^2} = t\]
5. Умножим обе части на \(1 + t^2\): \[2t^2 = t(1 + t^2)\] \[2t^2 = t + t^3\] \[t^3 - 2t^2 + t = 0\]
6. Вынесем \(t\) за скобки: \[t(t^2 - 2t + 1) = 0\] \[t(t - 1)^2 = 0\]
7. Тогда либо \(t = 0\) либо \(t = 1\).
8. Если \(t = 0\), то \(\operatorname{tg} \frac{x}{4} = 0\): \[\frac{x}{4} = \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[x = 4\pi n, n \in \mathbb{Z}\]
9. Если \(t = 1\), то \(\operatorname{tg} \frac{x}{4} = 1\): \[\frac{x}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\] \[x = \pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \(x = 4\pi n, x = \pi + 4\pi k, n, k \in \mathbb{Z}\)