Даны точки А (-2; 3), B (1; −1), C (2; 4). Найдите: 1) координаты векторов АВ и СА; 2) модули векторов АВ И СА; 3) координаты вектора MN = 3AB - 2CA; 4) скалярное произведение векторов АВ и СА; 5) косинус угла между векторами АВ и СА. Начертите треугольник АВС. Постройте вектор:

1. Даны точки $$A(-2;3), B(1;-1), C(2;4)$$. Найдите:

1) координаты векторов $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CA}$$;

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала.

$$\overrightarrow{AB} = (1 - (-2); -1 - 3) = (3; -4)$$.

$$\overrightarrow{CA} = (-2 - 2; 3 - 4) = (-4; -1)$$.

2) модули векторов $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CA}$$;

Чтобы найти модуль вектора, нужно извлечь корень квадратный из суммы квадратов координат.

$$\left|\overrightarrow{AB}\right| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$.

$$\left|\overrightarrow{CA}\right| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$$.

3) координаты вектора $$\overrightarrow{MN} = 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CA}$$;

Чтобы найти координаты вектора, умножаем координаты вектора на число и вычитаем координаты векторов.

$$\overrightarrow{MN} = 3(3; -4) - 2(-4; -1) = (9; -12) - (-8; -2) = (9 + 8; -12 + 2) = (17; -10)$$.

4) скалярное произведение векторов $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CA}$$;

Чтобы найти скалярное произведение векторов, нужно сумму произведений соответствующих координат.

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = 3 \cdot (-4) + (-4) \cdot (-1) = -12 + 4 = -8$$.

5) косинус угла между векторами $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CA}$$.

Чтобы найти косинус угла между векторами, нужно скалярное произведение разделить на произведение модулей векторов.

$$cos\varphi = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA}}{\left|\overrightarrow{AB}\right| \cdot \left|\overrightarrow{CA}\right|} = \frac{-8}{5 \cdot \sqrt{17}} = -\frac{8}{5\sqrt{17}}$$.

Начертите треугольник АВС. Постройте вектор:

Треугольник АВС

      C(2;4)
      / \
     /   \
    /     \
   /       \
  A(-2;3)-----B(1;-1)

Вектор $$\overrightarrow{MN}(17;-10)$$

      M
      |
      |
      |
      |
      N

Ответ: 1) $$\overrightarrow{AB} = (3; -4)$$, $$\overrightarrow{CA} = (-4; -1)$$; 2) $$\left|\overrightarrow{AB}\right| = 5$$, $$\left|\overrightarrow{CA}\right| = \sqrt{17}$$; 3) $$\overrightarrow{MN} = (17; -10)$$; 4) $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = -8$$; 5) $$cos\varphi = -\frac{8}{5\sqrt{17}}$$.