Найдите косинус угла между векторами a = n + 2m и b = 3n − m, если m ⟂ n, |m| = |n| = 1.

Так как m и n взаимно перпендикулярны и каждый имеет длину 1, их скалярное произведение равно нулю: m · n = 0.

a · b = (n + 2m) · (3n − m) = 3(n · n) − n · m + 6(m · n) − 2(m · m) = 3 − 2 = 1.

|a| = √(|n|² + 4|m|²) = √5;   |b| = √(9|n|² + |m|²) = √10.

Следовательно, cos φ = (a · b)/(|a||b|) = 1/(√5 · √10) = 1/√50 = √2/10.

Ответ: cos φ = 1/√50 = √2/10.