6. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой сторо ной СО углы, равные 30° и 105° соответственно.

Дано: ABCD - равнобедренная трапеция, ∠BCA = 30°, ∠ACD = 105°.

Найти: меньший угол трапеции.

Решение:

Сумма углов треугольника равна 180°. Рассмотрим треугольник ABC:

∠BAC = 180° - (∠ABC + ∠BCA)

Т.к. ABCD - равнобедренная трапеция, то ∠ABC = ∠BCD. ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = 30° + 105° = 135°.

∠ABC = 135°.

∠BAC = 180° - (135° + 30°) = 180° - 165° = 15°.

Рассмотрим треугольник ACD:

∠CAD = 180° - (∠ACD + ∠ADC)

Т.к. ABCD - равнобедренная трапеция, то ∠ADC = ∠BAD. ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD.

∠CAD = ∠BCA = 30° - как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC.

Тогда ∠ADC = ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 15° + 30° = 45°.

Итак, углы трапеции: 45°, 135°.

Меньший угол трапеции равен 45°.

Ответ: 45°