115. Найдите множество решений неравенства: 1) (3x + 1)(x – 2) < 6; 2) (x + 3)² – 16 ≥ (1 – 2x)²; 3) \frac{x+3}{5} - \frac{x^2-4}{8} ≤1; 4) \frac{3x^2-11}{8} < 10 - \frac{37-x^2}{6}

Решим данные неравенства:

1) $$(3x + 1)(x – 2) < 6$$

$$3x^2 - 6x + x - 2 < 6$$

$$3x^2 - 5x - 8 < 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$3x^2 - 5x - 8 = 0$$.

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121$$

$$x_1 = \frac{5 + \sqrt{121}}{6} = \frac{5 + 11}{6} = \frac{8}{3}$$

$$x_2 = \frac{5 - \sqrt{121}}{6} = \frac{5 - 11}{6} = -1$$

Решением неравенства является интервал $$(-1; \frac{8}{3})$$.

2) $$(x + 3)² – 16 ≥ (1 – 2x)²$$

$$x^2 + 6x + 9 - 16 \ge 1 - 4x + 4x^2$$

$$3x^2 - 10x + 8 \le 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$3x^2 - 10x + 8 = 0$$.

$$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4$$

$$x_1 = \frac{10 + \sqrt{4}}{6} = \frac{10 + 2}{6} = 2$$

$$x_2 = \frac{10 - \sqrt{4}}{6} = \frac{10 - 2}{6} = \frac{4}{3}$$

Решением неравенства является интервал $$[\frac{4}{3}; 2]$$.

3) $$\frac{x+3}{5} - \frac{x^2-4}{8} ≤1$$

$$\frac{x+3}{5} - \frac{x^2-4}{8} - 1 ≤0$$

$$\frac{8(x+3) - 5(x^2-4) - 40}{40} ≤0$$

$$\frac{8x+24 - 5x^2+20 - 40}{40} ≤0$$

$$\frac{-5x^2 + 8x + 4}{40} ≤0$$

$$5x^2 - 8x - 4 \ge 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$5x^2 - 8x - 4 = 0$$.

$$D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144$$

$$x_1 = \frac{8 + \sqrt{144}}{10} = \frac{8 + 12}{10} = 2$$

$$x_2 = \frac{8 - \sqrt{144}}{10} = \frac{8 - 12}{10} = -\frac{2}{5}$$

Решением неравенства являются интервалы $$(-\infty; -\frac{2}{5}]$$ и $$[2; +\infty)$$.

4) $$\frac{3x^2-11}{8} < 10 - \frac{37-x^2}{6}$$

$$\frac{3x^2-11}{8} - 10 + \frac{37-x^2}{6} < 0$$

$$\frac{3(3x^2-11) - 240 + 4(37-x^2)}{24} < 0$$

$$\frac{9x^2-33 - 240 + 148-4x^2}{24} < 0$$

$$\frac{5x^2 - 125}{24} < 0$$

$$5x^2 - 125 < 0$$

$$x^2 - 25 < 0$$

$$(x-5)(x+5) < 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$(x-5)(x+5) = 0$$.

$$x_1 = -5$$, $$x_2 = 5$$.

Решением неравенства является интервал $$(-5; 5)$$.

Ответ: 1) $$(-1; \frac{8}{3})$$; 2) $$[\frac{4}{3}; 2]$$; 3) $$(-\infty; -\frac{2}{5}]$$ и $$[2; +\infty)$$; 4) $$(-5; 5)$$.