117. Найдите область определения функции: 1) y = √x² + 3x – 40; 2) y = \frac{x+2}{√3x-12x2}; 3) y = √x²-4x-21 - \frac{6}{x²-64}; 4) y = \frac{x-8}{√5+19x-4x2}+\frac{x-4}{3x²-x-4}.

1) $$y = \sqrt{x² + 3x – 40}$$

Область определения функции - множество значений x, при которых выражение под корнем неотрицательно. Значит, нужно решить неравенство:

$$x² + 3x – 40 \ge 0$$

Найдем корни уравнения: $$x² + 3x – 40 = 0$$.

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = -3$$

$$x_1 \cdot x_2 = -40$$

$$x_1 = -8$$, $$x_2 = 5$$.

Решением неравенства является $$x \in (-\infty; -8] \cup [5; +\infty)$$.

2) $$y = \frac{x+2}{\sqrt{3x-12x^2}}$$.

Т.к. выражение под корнем, то оно должно быть больше нуля:

$$3x-12x^2 > 0$$

$$3x(1-4x) > 0$$

Найдем корни уравнения: $$3x(1-4x) = 0$$.

$$x_1 = 0$$, $$x_2 = \frac{1}{4}$$.

Решением неравенства является $$x \in (0; \frac{1}{4})$$.

3) $$y = \sqrt{x²-4x-21} - \frac{6}{x²-64}$$.

Под корнем должно быть неотрицательное выражение, а знаменатель не должен равняться нулю.

$$x²-4x-21 \ge 0$$

Найдем корни уравнения: $$x²-4x-21 = 0$$.

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 4$$

$$x_1 \cdot x_2 = -21$$

$$x_1 = -3$$, $$x_2 = 7$$.

Решением неравенства является $$x \in (-\infty; -3] \cup [7; +\infty)$$.

$$x²-64
e 0$$

$$(x-8)(x+8)
e 0$$

$$x
e 8$$ и $$x
e -8$$.

С учетом всех условий, областью определения является $$x \in (-\infty; -8) \cup (-8; -3] \cup [7; 8) \cup (8; +\infty)$$.

4) $$y = \frac{x-8}{\sqrt{5+19x-4x^2}}+\frac{x-4}{3x²-x-4}$$.

Нужно решить два условия:

$$5+19x-4x^2 > 0$$

$$4x^2 - 19x - 5 < 0$$

Найдем корни уравнения: $$4x^2 - 19x - 5 = 0$$.

$$D = (-19)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 361 + 80 = 441$$

$$x_1 = \frac{19 + \sqrt{441}}{8} = \frac{19 + 21}{8} = 5$$

$$x_2 = \frac{19 - \sqrt{441}}{8} = \frac{19 - 21}{8} = -\frac{1}{4}$$

Решением неравенства является $$x \in (-\frac{1}{4}; 5)$$.

$$3x²-x-4
e 0$$

Найдем корни уравнения: $$3x²-x-4 = 0$$.

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$$

$$x_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{6} = \frac{1 + 7}{6} = \frac{4}{3}$$

$$x_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{6} = \frac{1 - 7}{6} = -1$$

$$x
e \frac{4}{3}$$ и $$x
e -1$$.

С учетом всех условий, областью определения является $$x \in (-\frac{1}{4}; \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}; 5)$$.

Ответ: 1) $$(-\infty; -8] \cup [5; +\infty)$$; 2) $$(0; \frac{1}{4})$$; 3) $$(-\infty; -8) \cup (-8; -3] \cup [7; 8) \cup (8; +\infty)$$; 4) $$x \in (-\frac{1}{4}; \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}; 5)$$.