Найдите наибольшее и наименьшее значение функции $$f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3$$ на отрезке $$[0; \frac{3}{2}]$$

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции $$f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3$$ на отрезке $$[0; \frac{3}{2}]$$, нужно: 1. Найти производную функции $$f(x)$$. 2. Найти критические точки (нули производной) и проверить, принадлежат ли они заданному отрезку. 3. Вычислить значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих отрезку. 4. Выбрать наибольшее и наименьшее значения из полученных. 1. Находим производную функции: $$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$$ 2. Находим критические точки (нули производной): $$3x^2 - 4x + 1 = 0$$ Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$$ Корни: $$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$$ $$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ Оба корня $$x_1 = 1$$ и $$x_2 = \frac{1}{3}$$ принадлежат отрезку $$[0; \frac{3}{2}]$$. 3. Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критических точках: $$f(0) = 0^3 - 2(0)^2 + 0 + 3 = 3$$ $$f(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^3 - 2(\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1 - 6 + 9 + 81}{27} = \frac{85}{27} \approx 3.15$$ $$f(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 1 + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3$$ $$f(\frac{3}{2}) = (\frac{3}{2})^3 - 2(\frac{3}{2})^2 + \frac{3}{2} + 3 = \frac{27}{8} - 2(\frac{9}{4}) + \frac{3}{2} + 3 = \frac{27}{8} - \frac{18}{4} + \frac{3}{2} + 3 = \frac{27 - 36 + 12 + 24}{8} = \frac{27}{8} = 3.375$$ 4. Выбираем наибольшее и наименьшее значения: Наименьшее значение: $$f(0) = f(1) = 3$$ Наибольшее значение: $$f(\frac{3}{2}) = \frac{27}{8} = 3.375$$ Наименьшее значение: 3, наибольшее значение: 3.375