17. Найдите наибольшее значение функции у = х³ − 1,5x² − 6x + 1на отрезке [-2;0].

Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке необходимо найти производную функции, приравнять её к нулю, найти критические точки, принадлежащие отрезку, и вычислить значение функции в этих точках и на концах отрезка. Затем выбрать наибольшее значение.

$$y = x^3 - 1.5x^2 - 6x + 1$$

Находим производную:

$$y' = 3x^2 - 3x - 6$$

Приравниваем производную к нулю:

$$3x^2 - 3x - 6 = 0$$

$$x^2 - x - 2 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$

$$x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1$$

Критическая точка $$x = -1$$ принадлежит отрезку $$[-2; 0]$$

Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке:

$$y(-2) = (-2)^3 - 1.5(-2)^2 - 6(-2) + 1 = -8 - 1.5(4) + 12 + 1 = -8 - 6 + 12 + 1 = -1$$

$$y(-1) = (-1)^3 - 1.5(-1)^2 - 6(-1) + 1 = -1 - 1.5 + 6 + 1 = 4.5$$

$$y(0) = (0)^3 - 1.5(0)^2 - 6(0) + 1 = 1$$

Наибольшее значение функции равно 4.5.

Ответ: 4,5