18. В треугольнике АВС АС = ВС = 4√15, cosBCA = 0,25. Найдите высоту АН.

В треугольнике ABC AC = BC = $$4\sqrt{15}$$, $$cos\angle{BCA} = 0.25$$. Нужно найти высоту AH.

Так как AC = BC, то треугольник ABC - равнобедренный. Пусть угол BCA равен γ, тогда $$cos(γ) = 0.25 = \frac{1}{4}$$.

Из основного тригонометрического тождества: $$sin^2(γ) + cos^2(γ) = 1$$.

$$sin^2(γ) = 1 - cos^2(γ) = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$$

$$sin(γ) = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. В нём $$sin(γ) = \frac{AH}{AC}$$, тогда $$AH = AC \times sin(γ)$$.

$$AH = 4\sqrt{15} \times \frac{\sqrt{15}}{4} = \sqrt{15} \times \sqrt{15} = 15$$

Ответ: 15