12. Найдите наибольшее значение функции у=19+30x-2x√x на отрезке [97;101].

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем производную функции:

\[ y = 19 + 30x - 2x\sqrt{x} = 19 + 30x - 2x^{3/2} \] \[ y' = 30 - 2 \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} = 30 - 3\sqrt{x} \]

• Шаг 2: Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

\[ 30 - 3\sqrt{x} = 0 \] \[ 3\sqrt{x} = 30 \] \[ \sqrt{x} = 10 \] \[ x = 100 \]

• Шаг 3: Проверим значение функции в критической точке x = 100 и на концах отрезка [97; 101]:

y(97) = 19 + 30 * 97 - 2 * 97 * \( \sqrt{97} \) ≈ 19 + 2910 - 2 * 97 * 9.85 ≈ 2929 - 1911.9 ≈ 1017.1

y(100) = 19 + 30 * 100 - 2 * 100 * \( \sqrt{100} \) = 19 + 3000 - 2 * 100 * 10 = 3019 - 2000 = 1019

y(101) = 19 + 30 * 101 - 2 * 101 * \( \sqrt{101} \) ≈ 19 + 3030 - 2 * 101 * 10.05 ≈ 3049 - 2030.1 ≈ 1018.9

Наибольшее значение функции достигается в точке x = 100 и равно 1019.

Ответ: 1019