31. Найдите наибольшее значение выражения 4 2 X + 2 2 X + 2 -1.

Найдем наибольшее значение выражения:

$$\frac{4}{\left(\frac{x}{2} + 1\right)^2 + \left(\frac{x}{2} - 1\right)^2}$$

Упростим выражение в знаменателе:

$$\left(\frac{x}{2} + 1\right)^2 + \left(\frac{x}{2} - 1\right)^2 = \frac{x^2}{4} + x + 1 + \frac{x^2}{4} - x + 1 = \frac{x^2}{2} + 2$$

Подставим полученное выражение в исходное:

$$\frac{4}{\frac{x^2}{2} + 2} = \frac{4}{\frac{x^2 + 4}{2}} = \frac{8}{x^2 + 4}$$

Найдем наибольшее значение выражения $$\frac{8}{x^2 + 4}$$. Так как $$x^2 \geq 0$$, то знаменатель $$x^2 + 4 \geq 4$$, и чем меньше знаменатель, тем больше значение дроби. Наименьшее значение знаменателя достигается при $$x = 0$$.

Тогда при $$x=0$$:

$$\frac{8}{0^2 + 4} = \frac{8}{4} = 2$$

Ответ: 2