Найдите наименьшее значение функции f (x) = x√x-3x+15 на отрезке [1;9].

Пошаговое решение:

1. Найдем производную функции f(x) = x√x - 3x + 15:

\[f(x) = x^{3/2} - 3x + 15\]\[f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} - 3\]

2. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

\[\frac{3}{2}x^{1/2} - 3 = 0\]\[\frac{3}{2}\sqrt{x} = 3\]\[\sqrt{x} = 2\]\[x = 4\]

Критическая точка x = 4 принадлежит отрезку [1; 9].

3. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

f(1) = 1 * √1 - 3 * 1 + 15 = 1 - 3 + 15 = 13

f(4) = 4 * √4 - 3 * 4 + 15 = 4 * 2 - 12 + 15 = 8 - 12 + 15 = 11

f(9) = 9 * √9 - 3 * 9 + 15 = 9 * 3 - 27 + 15 = 27 - 27 + 15 = 15

4. Выбираем наименьшее значение:

Наименьшее значение функции f(x) на отрезке [1; 9] равно 11.

Ответ: 11