12. Найдите наименьшее значение функции $$y = \sqrt{x^2 - 12x + 61}$$.

Для того чтобы найти наименьшее значение функции $$y = \sqrt{x^2 - 12x + 61}$$, нужно найти наименьшее значение подкоренного выражения, так как корень - функция возрастающая. Рассмотрим подкоренное выражение: $$x^2 - 12x + 61$$. Это квадратный трехчлен. Найдем его вершину, так как это парабола с ветвями вверх. Абсцисса вершины параболы $$x_в = -\frac{b}{2a}$$, где $$a = 1$$ и $$b = -12$$. $$x_в = -\frac{-12}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$$ Теперь найдем значение этого выражения в точке $$x_в = 6$$: $$6^2 - 12 \cdot 6 + 61 = 36 - 72 + 61 = 25$$ Таким образом, наименьшее значение подкоренного выражения равно 25. Теперь найдем значение исходной функции: $$y = \sqrt{25} = 5$$ Ответ: 5