4. Найдите наименьшее значение функции у = ex-7 (x2 – 9x + 9) на отрезке [6; 8].

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке необходимо найти производную функции, найти стационарные точки на отрезке, вычислить значение функции в этих точках и на концах отрезка, а затем выбрать наименьшее значение.

Дано: $$y = e^{x-7} (x^2 - 9x + 9)$$ на отрезке $$[6; 8]$$

1. Найдем производную функции: $$y' = \frac{d}{dx} (e^{x-7} (x^2 - 9x + 9)) = e^{x-7} (x^2 - 9x + 9) + e^{x-7} (2x - 9) = e^{x-7} (x^2 - 9x + 9 + 2x - 9) = e^{x-7} (x^2 - 7x)$$
2. Приравняем производную к нулю: $$e^{x-7} (x^2 - 7x) = 0$$Так как $$e^{x-7} > 0$$ для любого x, то:$$x^2 - 7x = 0$$$$x(x - 7) = 0$$
3. Найдем корни уравнения:$$x_1 = 0, x_2 = 7$$
4. Из найденных корней выберем те, которые принадлежат отрезку [6; 8].$$x_2 = 7$$ принадлежит отрезку [6; 8].
5. Вычислим значение функции в точке x = 7 и на концах отрезка x = 6 и x = 8:$$y(6) = e^{6-7} (6^2 - 9\cdot6 + 9) = e^{-1} (36 - 54 + 9) = e^{-1} (-9) = -\frac{9}{e} \approx -3.31$$$$y(7) = e^{7-7} (7^2 - 9\cdot7 + 9) = e^0 (49 - 63 + 9) = 1 \cdot (-5) = -5$$$$y(8) = e^{8-7} (8^2 - 9\cdot8 + 9) = e^1 (64 - 72 + 9) = e (1) = e \approx 2.72$$
6. Сравним полученные значения: -3.31, -5, 2.72. Наименьшее значение: -5.

Ответ: -5