Найдите натуральные значения n, при которых √(n² − 75) является натуральным числом.

Пусть √(n² − 75) = m, где m — натуральное число. Тогда n² − m² = 75, то есть (n − m)(n + m) = 75.

Числа n − m и n + m — положительные целые множители 75 одной чётности. Подходящие пары множителей: (1, 75), (3, 25), (5, 15).

1. n − m = 1 и n + m = 75: n = (1 + 75)/2 = 38.
2. n − m = 3 и n + m = 25: n = (3 + 25)/2 = 14.
3. n − m = 5 и n + m = 15: n = (5 + 15)/2 = 10.

Ответ: n = 10, 14, 38.