Найдите неизвестные элементы треугольника PKM, если: ∠P = 40°, PK = 2 см, KM = 5 см.

Для решения этой задачи можно использовать теорему косинусов и теорему синусов.

1. Найдем сторону PM, используя теорему косинусов:

$$PM^2 = PK^2 + KM^2 - 2 \cdot PK \cdot KM \cdot cos(∠P)$$

Подставим известные значения:

$$PM^2 = 2^2 + 5^2 - 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot cos(40^\circ)$$

$$PM^2 = 4 + 25 - 20 \cdot cos(40^\circ)$$

$$PM^2 = 29 - 20 \cdot 0.766 \approx 29 - 15.32 = 13.68$$

$$PM = \sqrt{13.68} \approx 3.699$$

2. Найдем угол K, используя теорему синусов:

$$\frac{KM}{sin(∠P)} = \frac{PM}{sin(∠K)}$$

$$\frac{5}{sin(40^\circ)} = \frac{3.699}{sin(∠K)}$$

$$sin(∠K) = \frac{3.699 \cdot sin(40^\circ)}{5} = \frac{3.699 \cdot 0.6428}{5} \approx \frac{2.3778}{5} \approx 0.4756$$

$$∠K = arcsin(0.4756) \approx 28.39^\circ$$

3. Найдем угол M:

$$∠M = 180^\circ - ∠P - ∠K$$

$$∠M = 180^\circ - 40^\circ - 28.39^\circ \approx 111.61^\circ$$

Ответ: PM ≈ 3.7 см, ∠K ≈ 28.4°, ∠M ≈ 111.6°.