Найдите объем цилиндра. 3. Дано: BD ∩ OQ = M, BD = 4√3, ∠BMO = 30°.

Дано:

• BD ∩ OQ = M
• \[ BD = 4\sqrt{3} \]
• \[ \angle BMO = 30^{\circ} \]

Решение:

1. Находим радиус основания: BD — диагональ осевого сечения (прямоугольника). В прямоугольном треугольнике △BOD (угол O = 90°), BO — радиус.

\[ BO = \frac{BD}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \]

Радиус основания равен r = 2√3.

2. Находим высоту цилиндра: В прямоугольном треугольнике △BMO, BO — гипотенуза, BM — катет, лежащий против угла 30°.

\[ BM = \frac{BO}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \]

MO — высота цилиндра (h). Найдем MO по теореме Пифагора:

\[ MO = \sqrt{BO^2 - BM^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12 - 3} = \sqrt{9} = 3 \]

Высота цилиндра h = 3.

3. Вычисляем объем цилиндра:

\[ V = \pi r^2 h = \pi \cdot (2\sqrt{3})^2 \cdot 3 = \pi \cdot 12 \cdot 3 = 36\pi \]

Ответ: 36π