7. Найдите объем конуса, полученного в результате вращения во- круг большего катета прямоугольного треугольника с гипотену- зой, равной 2√6 см, и углом 30°.

Пусть гипотенуза равна c, больший катет равен a, меньший катет равен b, угол 30 градусов лежит напротив меньшего катета. При вращении прямоугольного треугольника вокруг большего катета образуется конус, радиус основания которого равен меньшему катету b, а высота конуса равна большему катету a. Объем конуса равен $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi b^2 a$$

По условию гипотенуза равна $$c = 2\sqrt{6}$$ см, угол $$\angle B = 30^\circ$$.

Находим катет b (меньший катет): $$b = c \cdot sin B = 2\sqrt{6} \cdot sin 30^\circ = 2\sqrt{6} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{6}$$ см.

Находим катет a (больший катет): $$a = c \cdot cos B = 2\sqrt{6} \cdot cos 30^\circ = 2\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$ см.

Вычисляем объем конуса:

$$V = \frac{1}{3} \pi (\sqrt{6})^2 \cdot 3\sqrt{2} = \frac{1}{3} \pi \cdot 6 \cdot 3\sqrt{2} = 6\pi \sqrt{2}$$ см³

Ответ: $$6\pi \sqrt{2}$$ см³