6. Найдите объем правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3√6.

Пусть сторона основания пирамиды равна a = 6, а боковое ребро равно b = 3\sqrt{6}.

Сначала найдем высоту пирамиды h.

Диагональ основания d равна:

$$d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$$

Половина диагонали:

$$\frac{d}{2} = 3\sqrt{2}$$

Высоту найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной диагонали и боковым ребром:

$$h = \sqrt{b^2 - (\frac{d}{2})^2} = \sqrt{(3\sqrt{6})^2 - (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{54 - 18} = \sqrt{36} = 6$$

Объем пирамиды равен:

$$V = \frac{1}{3} a^2 h = \frac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 6 = 12 \cdot 6 = 72$$

Ответ: 72