427. Найдите область определения функции: 1) y = 5/√x² - 4x - 12 + √x + 1;

Найдем область определения функции

$$ y = \frac{5}{\sqrt{x^2 - 4x - 12}} + \sqrt{x + 1} $$

Выражения под корнем должны быть неотрицательными, а знаменатель не должен равняться нулю, поэтому получаем систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - 4x - 12 > 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $$ x^2 - 4x - 12 > 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 - 4x - 12 = 0$$:

$$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 $$ $$ x_1 = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $$ $$ x_2 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6 $$ $$ (x + 2)(x - 6) > 0 $$ $$ x \in (-\infty; -2) \cup (6; +\infty) $$ 2) $$ x + 1 \ge 0 $$ $$ x \ge -1 $$

Решением системы будет пересечение решений неравенств:

$$ x \in [-1; -2) \cup (6; +\infty) $$

Решением является (6; +∞), так как [-1; -2) не удовлетворяет условию x ≥ −1.

Ответ: (6; +∞)